地锚式斜拉-悬索协作体系桥竖弯振动基频计算公式
Base Frequency Formulas of Vertical Vibration for Earth-anchored Hybrid Cable-suspension Bridge
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摘要: 为方便计算地锚式斜拉-悬索协作体系桥的竖向自振频率，以三跨连续支承协作体系为研究对象，在计入主塔刚度的影响下，应用能量法推导了该体系的竖向弯曲振动频率公式，并提出了主塔抗弯刚度影响系数的计算式；最后对本文所推导的公式的有效性进行了验证。研究表明：该协作体系的竖向弯曲振动基频略高于同等跨径布置的地锚式悬索桥的竖弯弯曲频率，其原因在于斜拉索对该体系刚度的贡献；本文所推导的竖弯基频计算值与数值计算误差能满足概念设计阶段的要求；该公式可用于该体系的初步概念设计中选择合理的结构计算参数。
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关键词:
- 桥梁工程 /
- 地锚式斜拉-悬索协作体系 /
- 竖弯频率 /
- 能量法 /
- 估算公式
Abstract: To calculate vertical frequency of the earth-anchored hybrid cable-suspension bridge (EAHCAB)conveniently, the earth-anchored hybrid cable-suspension bridge with double-tower was taken as research object. Frequency formulas for 1st vertical vibration modes were induced by the energy method and the influence of coefficient for tower flexural rigidity was introduced. Finally, the above analytic formulas were validated by the engineering project. The results indicate that the vertical vibration character of EAHCAB is slightly higher earth-anchored suspension bridge as the same of identical span arrangement, which is caused by the contribution of cable. The error between values calculated by the analytic formulas and the finite element method (FEM) meets with the requirement of conceptual design. The analytic formulas can be applied to select reasonable parameters for the EAHCAB in conceptual design stage. -
随着经济和技术的发展，在沿海地区修建大跨度斜拉桥或悬索桥等桥型已经不能满足工程的需要。针对这一迫切需求国内外许多学者提出了斜拉-悬索协作体系。土耳其博斯普鲁斯海峡三桥的建成，标志着该结构体系进入一个新的阶段，开展该结构体系固有振动特性研究具有较强的实用意义[1-7]。文献[8]在计入主塔纵向抗弯刚度影响下，提出了对单跨简支地锚式悬索桥体系的竖弯基频修正的计算表达式；文献[9-11]在考虑主塔纵向抗弯刚度影响下，采用能量法推导了多塔悬索体系的竖弯振动估算实用公式，并提出了中塔纵向抗弯刚度影响系数；文献[12-14]以地锚式斜拉-悬索协作体系桥为研究对象，研究该结构的静动特性及不同约束条件对其力学性能的影响，遗憾的是未能给出相应的理论解。本文以三跨连续体系的地锚式悬索桥为研究对象，在计入主塔纵向抗弯刚度的影响下，采用能量法推导其竖弯振动基频估算实用公式，以供该协作体系桥在初步概念设计阶段选择合理计算参数或对数值计算结果进行复核。
1. 基于能量法的地锚式协作体系的竖弯基频估算实用公式
1.1 地锚式斜拉-悬索协作体系的势能
主缆的势能主要由2部分组成，即主缆水平分力变化产生的弹性势能Uce和主缆重力作用点变化引起的重力势能Ucg，即
主缆的弹性势能为：
$ {U_{{\rm{ce}}}} = \frac{1}{2}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{H_i^2{l_{s1}}}}{{{E_c}{A_c}}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{H_i^2{l_{s2}}}}{{{E_c}{A_c}}}} } \right) $
(1) $ {l_{s2}} = \int_0^{{l_c}} {{{\left( {\frac{{{\rm{d}}s}}{{{\rm{d}}x}}} \right)}^3}} {\rm{d}}x = {l_c}\left( {1 + \frac{{16}}{3}f_c^2} \right) $
(2) $ {l_{s1}} = \int_0^{{l_s}} {{{\left( {\frac{{{\rm{d}}s}}{{{\rm{d}}x}}} \right)}^3}} {\rm{d}}x = \frac{{{l_s}}}{{{{\cos }^2}\theta }}\left( {1 + \frac{{16}}{3}f_s^2{{\cos }^4}\theta } \right) $
(3) 式中符号如图 1所示。
主缆的重力势能为
$ {U_{{\rm{cg}}}} = \frac{1}{2}{H_q}\int_L {{{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial x}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x $
(4) 式中:v为加劲梁的振型函数；Hq为主缆恒载作用下的水平分力。
拉索的弹性势能为
$ {U_{{\rm{c}}i}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{{\rm{c}}i}}{A_{{\rm{c}}i}}}}{{{L_{{\rm{c}}i}}}}} {v^2}{\sin ^2}{\alpha _{{\rm{c}}i}} $
(5) 式中:EciAci/Lci，αci分别为拉索的单位轴向刚度及水平倾角。
加劲梁的弯曲势能为
$ {U_{{\rm{gs}}}} = \frac{1}{2}\int_L {{E_{\rm{g}}}} {I_{\rm{g}}}{\left( {\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {x^2}}}} \right)^2}{\rm{d}}x $
(6) 式中:EgIg为加劲梁的抗弯刚度。
$ 主塔的势能为\;{U_{\rm{t}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\left( {{H_{i + 1}} - {H_i}} \right)}}{{2{S_{{\rm{t}}i}}}}} $
(7) 式中:Hi，Hi+1分别为i，i+1号主跨的主缆的水平分力；Sti为第i号主塔的抗弯刚度。
该协作体系的势能为上述各构件的势能之和，即
$ \begin{array}{*{20}{c}} {U = \frac{1}{2}\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{H_i^2{l_{s2}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{H_i^2{l_{s1}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}} } \right) + \frac{1}{2}{H_q}\int_L {{{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial x}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x + }\\ {\frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{{\rm{c}}i}}{A_{{\rm{c}}i}}{v^2}}}{{{L_{{\rm{c}}i}}}}} {{\sin }^2}{\alpha _{{\rm{c}}i}} + \frac{1}{2}\int_L {{E_g}} {I_g}{{\left( {\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {x^2}}}} \right)}^2}{\rm{d}}x + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\left( {{H_{i + 1}} - {H_i}} \right)}}{{2{S_{{\rm{t}}i}}}}} } \end{array} $
(8) 1.2 地锚式斜拉-悬索协作体系的动能
$ 主缆的动能为\;{T_{\rm{c}}} = \frac{1}{2}\int_L {{m_{\rm{c}}}} {\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)^2}{\rm{d}}x $
(9) 式中：mc为主缆的单位桥长质量。
$ 加劲梁的动能为\;{T_{\rm{s}}} = \frac{1}{2}\int_L {{m_{\rm{g}}}} {\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)^2}{\rm{d}}x $
(10) 式中：mg为加劲梁的单位桥长质量。
主塔的动能为
$ {T_{\rm{t}}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{m_{ti}}}}{{K_i^2}}} {\left[ {\frac{{\partial \left( {{H_{i + 1}} - {H_i}} \right)}}{{\partial t}}} \right]^2} $
(11) 式中：mti为第i号主塔的质量。
$ 吊索的动能为\;{T_{\rm{H}}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {{m_{{\rm{h}}i}}} {\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)^2}{\rm{d}}x $
(12) 式中：mhi为第i号吊索的质量。
$ 拉索的动能为\;{T_{{\rm{c}}i}} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\omega _b^2}}{6}} {m_{{\rm{c}}i}}v_{{\rm{c}}i}^2{L_{{\rm{c}}i}} $
(13) 式中：mci为拉索的线均布质量。
该协作体系的动能为上述各构件的动能之和，即
$ \begin{array}{*{20}{c}} {{T_{\rm{c}}} = \frac{1}{2}\int_L {{m_{\rm{c}}}} {{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)}^2}{\rm{d}}x + \frac{1}{2}\int_L {{m_{\rm{g}}}} {{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)}^2}{\rm{d}}x + }\\ {\frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{m_{{\rm{t}}i}}}}{{K_i^2}}} {{\left[ {\frac{{\partial \left( {{H_{i + 1}} - {H_i}} \right)}}{{\partial t}}} \right]}^2} + \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^n {{m_{{\rm{h}}i}}} {{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)}^2}{\rm{d}}x + }\\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\omega _b^2}}{6}} {m_{{\rm{c}}i}}v_{{\rm{c}}i}^2{L_{{\rm{ci}}}}} \end{array} $
(14) 1.3 地锚式斜拉-悬索协作体系的竖弯频率计算表达式
由能量法可得，地锚式斜拉-悬索协作体系桥的竖弯频率计算表达式为
$ \omega _b^2 = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{H_i^2{l_{s2}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{H_i^2{l_{s1}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}} + {H_q}\int_L {{{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial x}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{{\rm{c}}i}}{A_{{\rm{c}}i}}{v^2}}}{{{L_{{\rm{c}}i}}}}} {{\sin }^2}{\alpha _{{\rm{c}}i}} + \int_L {{E_{\rm{g}}}} {I_{\rm{g}}}{{\left( {\frac{{{\partial ^2}v}}{{\partial {x^2}}}} \right)}^2}{\rm{d}}x + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\left( {{H_{i + 1}} - {H_i}} \right)}}{{{S_{{\rm{t}}i}}}}} }}{{\int_L {{m_{\rm{c}}}} {{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)}^2}{\rm{d}}x + \int_L {{m_{\rm{g}}}} {{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)}^2}{\rm{d}}x + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{m_{{\rm{t}}i}}}}{{K_i^2}}} {{\left[ {\frac{{\partial \left( {{H_{i + 1}} - {H_i}} \right)}}{{\partial t}}} \right]}^2} + \sum\limits_{i = 1}^n {{m_{{\rm{h}}i}}} {{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)}^2}{\rm{d}}x + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{\omega _b^2}}{3}} {m_{{\rm{c}}i}}v_{{\rm{c}}i}^2{L_{{\rm{c}}i}}}} $
(15) $ \omega _b^2 = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{H_i^2{l_{s2}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{H_i^2{l_{s1}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{{\rm{c}}i}}{A_{{\rm{c}}i}}{v^2}}}{{{L_{{\rm{c}}i}}}}} {{\sin }^2}{\alpha _{{\rm{c}}i}}}}{{\int_L {\left( {{m_{\rm{c}}} + {m_{\rm{g}}}} \right)} {{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)}^2}{\rm{d}}x}} $
(16) 2. 地锚式协作体系的变形协调方程
2.1 地锚式协作体系的1阶对称竖弯变形协调方程
该协作体系做1阶对称竖弯振动时的边、主跨的变形协调方程分别为
$ {u_t} = \frac{{{H_1}{l_s}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}\frac{1}{{\cos \theta }} $
(17) $ - 2{u_t} = \frac{{{H_2}{l_{ce}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}} - \frac{q}{{{H_q}}}\int_{{l_2}} {v{\rm{d}}x} $
(18) 式中，ut为该体系做1阶对称竖弯振动的主塔的位移。
该协作体系做1阶对称振动时，主塔的受力计算图示如图 4所示。
其力学平衡方程为
$ {H_2} - {H_1} = {S_{\rm{t}}}{u_t} \cong \frac{{3{E_{\rm{t}}}{I_{\rm{t}}}}}{{h_{\rm{t}}^3}}{u_{\rm{t}}} $
(19) 式中，EtIt，ht为主塔的抗弯刚度、高度。
联立求解式(17)—(19)，可得：
$ {H_2} = \frac{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}\left( {{S_{\rm{t}}}{l_{\rm{s}}} + {E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}\cos \theta } \right)}}{{2{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}{l_{\rm{s}}} + {S_{\rm{t}}}{l_{\rm{s}}}{l_{{\rm{c}}e}} + {E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}{l_{{\rm{c}}e}}\cos \theta }}\frac{q}{{{H_{\rm{q}}}}}\int_{{l_2}} {v{\rm{d}}x} $
(20) $ {H_1} = \frac{{E_{\rm{c}}^2A_{\rm{c}}^2\cos \theta }}{{2{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}{l_{\rm{s}}} + {S_{\rm{t}}}{l_{\rm{s}}}{l_{{\rm{c}}e}} + {E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}{l_{{\rm{c}}e}}\cos \theta }}\frac{q}{{{H_q}}}\int_{{l_2}} {v{\rm{d}}x} $
(21) 2.2 地锚式协作体系的一阶对称竖弯变形协调方程
该协作体系做一阶反对称竖弯振动时的边、主跨变形协调方程分别为：
$ - {u_{\rm{t}}} = \frac{{{H_1}{l_s}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}\frac{1}{{\cos \theta }} $
(22) $ {u_{\rm{t}}} = \frac{{{H_3}{l_s}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}\frac{1}{{\cos \theta }} $
(23) $ 0 = \frac{{{H_2}{l_{{\rm{c}}e}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}} - \frac{q}{{{H_q}}}\int_{{l_2}} {v{\rm{d}}x} $
(24) 该协作体系做一阶反对称竖弯振动时，主塔的受力如图 5所示。
其力学平衡方程为：
$ {H_2} + {S_{\rm{t}}}{u_{\rm{t}}} = {H_1} $
(25) $ {H_3} + {S_1}{u_{\rm{t}}} = {H_2} $
(26) 联立求解式(22)─(26)，可得：
$ {H_1} = - \frac{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}\cos \theta }}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}\cos \theta + {S_{\rm{t}}}{l_s}}}\frac{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}{{{l_{{\rm{c}}e}}}}\frac{q}{{{H_q}}}\int_{{l_2}} {v{\rm{d}}x} $
(27) $ {H_2} = \frac{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}{{{l_{{\rm{c}}e}}}}\frac{q}{{{H_q}}}\int_{{l_2}} {v{\rm{d}}x} $
(28) $ {H_3} = \frac{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}\cos \theta }}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}\cos \theta + {S_{\rm{t}}}{l_s}}}\frac{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}{{{l_{{\rm{c}}e}}}}\frac{q}{{{H_q}}}\int_{{l_2}} {v{\rm{d}}x} $
(29) 3. 地锚式协作体系的一阶对称竖弯基频计算式
加劲梁1阶对称振型关于中跨跨中对称如图 2所示，设加劲梁的自由振动振型函数为：
$ {v_1} = {A_1}\sin \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{x_1}}}{{{l_1}}}\sin (\omega t + \varphi ){x_1} \in \left( {0,{l_1}} \right) $
(30) $ {v_2} = {A_2}\sin \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{x_2}}}{{{l_2}}}\sin (\omega t + \varphi ){x_2} \in \left( {{l_1},{l_1} + {l_2}} \right) $
(31) 由于加劲梁的振型函数在桥塔处满足变形协调条件，可得
$ \begin{array}{l} {\left. {v_1^\prime } \right|_{{x_1}}} = {l_1} = {\left. {v_2^\prime } \right|_{{x_2} = {l_1}}},\\ 经简化可得\;{A_1} = - {A_2}\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = - k{A_2} \end{array} $
(32) 于是，可得
$ \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{H_i^2{L_{{\rm{c}}e}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{H_i^2{L_{se}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}} = 4A_2^2\lambda {E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}} $
(33) 式中：λ为主塔刚度影响系数。
$ \overline {{l_{ce}}} = \frac{{2k{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}{l_{\rm{c}}} + k{S_{\rm{t}}}{l_{\rm{c}}}{l_{ce}} + {E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}{l_{ce}}}}{{{S_{\rm{t}}}{l_s} + {E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}\cos \theta }} $
(34) $ \overline {{l_{se}}} = \frac{{2k{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}{l_{\rm{c}}} + k{S_{\rm{t}}}{l_{\rm{c}}}{l_{ce}} + {E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}{l_{ce}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}\cos \theta }} $
(35) $ \lambda = {\left( {\frac{{{l_{\rm{c}}}}}{{\rm{ \mathsf{ π} }}}} \right)^2}{\left( {\frac{{8{f_{\rm{c}}}}}{{l_{\rm{c}}^2}}} \right)^2}\left( {\frac{{{l_{ce}}}}{{\overline {l_{ce}^2} }} + 2\frac{{{l_{se}}}}{{\overline {l_{se}^2} }}} \right) $
(36) $ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{ci}}{A_{ci}}{v^2}}}{{{L_{ci}}}}} {{\sin }^2}{\alpha _{ci}} = A_2^2\left( {2{k^2}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{ci}}{A_{ci}}{{\sin }^2}{a_{ci}}}}{{{L_{ci}}}}} {{\sin }^2}\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}x}}{{{l_1}}} + } \right.}\\ {\left. {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{ci}}{A_{ci}}{{\sin }^2}{a_{ci}}}}{{{L_{ci}}}}} {{\sin }^2}\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}x}}{{{l_2}}}} \right)} \end{array} $
(37) $ \left( {{m_{\rm{c}}} + {m_{\rm{g}}}} \right)\int_L {{{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \left( {{m_{\rm{c}}} + {m_{\rm{g}}}} \right)A_2^2{l_2}\left( {{k^3} + \frac{1}{2}} \right) $
(38) 将式(33)—(38)代入式(16)，可得其的一阶竖弯对称基频的计算式为
$ \omega _b^2 = \frac{{4\lambda {E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}} + 2{k^2}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{ci}}{A_{ci}}{{\sin }^2}{a_{ci}}}}{{{L_{ci}}}}} {{\sin }^2}\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}x}}{{{l_1}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{ci}}{A_{ci}}{{\sin }^2}{a_{ci}}}}{{{L_{ci}}}}} {{\sin }^2}\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}x}}{{{l_2}}}}}{{\left( {{m_c} + {m_g}} \right){l_2}\left( {{k^3} + \frac{1}{2}} \right)}} $
(39) 4. 地锚式协作体系的一阶反对称竖弯频率计算式
加劲梁一阶反对称振型关于中跨跨中反对称如图 3所示，设其加劲梁的自由振动振型函数分别为：
$ {v_1} = {A_1}\sin \frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{x_1}}}{{{l_1}}}\sin (\omega t + \varphi ){x_1} \in \left( {0,{l_1}} \right) $
(40) $ {v_2} = {A_2}\sin \frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}{x_2}}}{{{l_2}}}\sin (\omega t + \varphi ){x_2} \in \left( {{l_1},{l_1} + {l_2}} \right) $
(41) 由于加劲梁的竖弯振型函数在桥塔处满足变形协调条件，可得
${\left. {v_1^\prime } \right|_{{x_1} = {l_1}}} = {\left. {v_2^\prime } \right|_{{x_2} = {l_1}}} $ ，$ 经简化可得\;{A_1} = - 2{A_2}\frac{{{l_1}}}{{{l_2}}} = - 2k{A_2} $
(42) 于是，可得：
$ \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{H_i^2{l_{{\rm{c}}e}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{H_i^2{l_{se}}}}{{{E_{\rm{c}}}{A_{\rm{c}}}}}} = 0 $
(43) $ \begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{{\rm{c}}i}}{A_{{\rm{c}}i}}{v^2}}}{{{L_{{\rm{c}}i}}}}} {{\sin }^2}{\alpha _{{\rm{c}}i}} = A_2^2\left( {8{k^2}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{{\rm{c}}i}}{A_{{\rm{c}}i}}{{\sin }^2}{a_{{\rm{c}}i}}}}{{{L_{{\rm{c}}i}}}}} {{\sin }^2}\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}x}}{{{l_1}}} + } \right.}\\ {\left. {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{{\rm{c}}i}}{A_{{\rm{c}}i}}{{\sin }^2}{a_{{\rm{c}}i}}}}{{{L_{{\rm{c}}i}}}}} {{\sin }^2}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}x}}{{{l_2}}}} \right)} \end{array} $
(44) $ \left( {{m_{\rm{c}}} + {m_{\rm{g}}}} \right)\int_L {{{\left( {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = A_2^2\left( {{m_{\rm{c}}} + {m_{\rm{g}}}} \right){l_2}\left( {4{k^3} + \frac{1}{2}} \right) $
(45) 将式(43)─(45)代入式(16)，可得其一阶反对称竖弯基频的计算式为
$ \begin{array}{*{20}{c}} {\omega _b^2 = \left( {8{k^2}\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{{\rm{c}}i}}{A_{{\rm{c}}i}}{{\sin }^2}{a_{{\rm{c}}i}}}}{{{L_{{\rm{c}}i}}}}} {{\sin }^2}\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}x}}{{{l_1}}} + } \right.}\\ {\left. {\sum\limits_{i = 1}^n {\frac{{{E_{{\rm{c}}i}}{A_{{\rm{c}}i}}{{\sin }^2}{a_{{\rm{c}}i}}}}{{{L_{{\rm{c}}i}}}}} {{\sin }^2}\frac{{2{\rm{ \mathsf{ π} }}x}}{{{l_2}}}} \right) \div \left[ {\left( {{m_{\rm{c}}} + {m_{\rm{g}}}} \right){l_2}\left( {4{k^3} + \frac{1}{2}} \right)} \right]} \end{array} $
(46) 5. 算例分析
为验证本文解的计算精度，本文以文献[14]中的算例为例进行校核。该桥跨径布置为319 m +1 400 m +319 m。结构计算参数及计算结果如表 1、2所示。
表 1 结构计算参数构件 E/(kN·m-1) A/m2 I/m4 Q/(kg·m-3) 主塔 3.3×107 30.000 320.000 2.60×103 斜拉索 2.0×108 0.008 0 7.85×103 加劲梁 2.1×108 1.248 1 1.984 2 14.73×103 吊索 2.0×108 0.006 4 0 7.85×103 主缆 2.0×108 0.316 7 0 8.40×103 表 2 不同计算方法结果比较算例分析表明，在计入主塔抗弯刚度影响下，理论解1法与文献[14]法计算得到的该体系的竖弯振动基频的计算误差在5%左右；在未计入主塔抗弯刚度影响下，理论解2与文献[14]解之间的误差最大为9.15%。存在上述误差的根本原因是该协作体系的实际振型函数与本文假设的加劲梁的振型函数存在一定差异造成的；理论解1的对称竖弯基频计算精度相对理论解2的计算精度要高，其原因在于理论解1中计入主塔纵向抗弯刚度的影响。同时不难发现，该协作体系的基频比同等跨径布置的悬索体系的基频略大，其原因在于在协作体系中，计入拉索对结构体系的影响。
6. 结论
1) 地锚式协作体系桥梁竖向弯曲振动动力特性是由缆索结构决定的。该体系的竖向弯曲振动基频较同等跨径布置的地锚式悬索桥的竖弯弯曲基频要略大，其原因在于斜拉索对该协作体系的刚度的贡献。
2) 本文利用加劲梁自由振动的振型函数在桥塔处满足变形协调条件，采用能量法推导了该协作体系的竖弯振动频率估算实用公式，此式可用于该协作体系桥梁在初步设计阶段选取合理的计算参数或对数值计算结果进行复核。
3) 本文所推导的竖弯振动基频估算实用公式仅仅适用于三跨连续支承体系的地锚式协作体系桥梁的竖弯基频估算，对其他协作体系的竖弯振动基频估算并不适用。为进一步提高所推导的计算公式的计算精度，在后续的研究中可考虑纵飘振动对竖弯振动的影响，以便提高计算精度。
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表 1 结构计算参数
构件 E/(kN·m-1) A/m2 I/m4 Q/(kg·m-3) 主塔 3.3×107 30.000 320.000 2.60×103 斜拉索 2.0×108 0.008 0 7.85×103 加劲梁 2.1×108 1.248 1 1.984 2 14.73×103 吊索 2.0×108 0.006 4 0 7.85×103 主缆 2.0×108 0.316 7 0 8.40×103 
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期刊类型引用(1)
1. 张新军，胡智勇，孙雷雷. 斜风下斜拉-悬吊组合体系桥静风稳定性研究. 浙江工业大学学报. 2023(05): 523-529+536 . 
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